Les Fractions

 

A - Définitions et vocabulaire

Avez-vous lu la page 01 de ce dossier "Calcul" ? indispensable.

 

1 - Pour désigner une quantité, on se sert de chiffres et de nombres :
- 1, 2 , 3 , 4 etc.     10 , 20 , 30 , 40 etc.

 

2 - On obtient une fraction ordinaire lorsqu'on partage une partie de chiffres ou de nombres, par exemple pour partager 1 par 4, on utilise les fractions et on prononce : un quart et on écrit   .

   est une fraction ordinaire   =        = 1 quart

 

Dénominateur = Nombre qui indique en combien de parties égales l'unité a été divisée. C'est le deuxième terme d'une fraction.

Numérateur = Nombre qui indique combien de parties on prend. C'est le premier terme d'une fraction.

On fait ainsi la division d'un tout, d'un ensemble. Dans l'exemple ci-dessus, sur un ensemble composé de 4 parts égales, on a choisi d'en prendre 1.

 

2 bis - On obtient une fraction décimale lorsqu'on partage l'unité par 10, 100, 1000, ...parties égales :

   est une fraction décimale =   8 dixièmes.  

Lorsque l'on partage l'unité par 100, on parle de centièmes. Lorsque l'on partage l'unité par 1000, on parle de millièmes.

Par exemple : 0,435 est égal à 435/1000 --- 12 et 66 millièmes s’écrit 12,066 --- 11 centièmes est égal à 0,11 --- 207 centièmes est égal à 2,07 (207 divisé par 100)

 

3 - On dit que le "numérateur" et le "dénominateur" sont les deux "termes" de la fraction. Le numérateur indique combien de parts sont prises en compte. Le dénominateur indique en combien de parts l'unité principale (l'ensemble) est divisée.

 

4 - Avec la fraction    on indique que l'on prend 3 parts d'un ensemble qui est divisé en 4 parties égales. Le résultat obtenu représente le chiffre ou le nombre de cette opération de fractionnement.

 

5 - Si l'ensemble est le nombre 20, et que l'on en prenne le quart c'est à dire (20 divisé par 4) 20 : 4 = 5 on obtient la fraction .

6 - Ecriture : Les fractions ne sont pas suivies de lettres abréviatives (e, me, ème). Sauf en calcul, mathématiques ou comptabilité, on écrit les fractions en toutes lettres : Ils ont acheté les trois-quarts du domaine.

Avec les ordinateurs en particulier, on écrit 1/2, 1/3, 1/4...

 

7 - Pour énoncer une fraction, on lit d'abord le numérateur, ensuite le dénominateur auquel on ajoute la terminaison -ième :
4/6 s'énoncera : quatre sixièmes   -   12/25 s'énoncera : douze vingt cinquièmes.

Exceptions : les dénominateurs 2, 3, 4 se nomment : demi, tiers et quart.

    = 1 demi.         = 1 tiers.         = 1 quart.         = 4 quarts.

-      qui divise l'ensemble 1 par 2 (le numérateur 1 est divisé par le dénominateur 2), dans ce cas particulier s'appelle : un demi, la moitié,

 

8 - Nombre fractionnaire = un nombre entier suivi d'une fraction :
 24  = 24 + (1/4 de l'unité 1 soit 1 : 4 = 0,25) = 24 + 0,25 = 24,25.

 

9 - Expression fractionnaire = c'est le terme qui définit un nombre égal ou supérieur à l'unité "1" qui est mis sous forme de fraction :
-   est équivalent de 1, vu que 4 : par 4 = 1   -   8/ 8 = 1  -   8/16 =   -     15 / 2 sera vu plus loin car le résultat ne tombe pas juste.

Encore une fois, il est indispensable de comprendre ce qui précède avant de poursuivre :

- Je vais acheter du vin au détail chez le caviste, et j'en demande 10 litres et demi, c'est à dire 10 litres + un 1/2 (litre n'est pas prononcé mais sous-entendu) à mettre dans ma bonbonne.

 

10 - Voici l'écriture avec une fraction     10  litres. Pour savoir ce que représente (1/2) je divise 1 par 2 = 0,50 ou encore la moitié. La moitié de quoi ? simplement de l'unité prise pour acheter ce vin c'est-à-dire "le litre" et la totalité achetée sera de 10 litres + la moitié d'un litre. (10, 5 litres ou encore dix litres et demi)

 

B - Propriétés des fractions

11 - Deux fractions sont égales lorsque le rapport des deux termes est identique :

   est identique à       pourquoi   

 

12 - Fractions équivalentes

On a vu paragraphe 3, qu'une fraction est composée de 2 termes. Si je multiplie ou je divise en même temps les deux termes d'une fraction par un même nombre, je ne change rien au résultat.

On vient d'écrire que   =     et en effet on démontre ci-après que lorsqu'on multiplie le numérateur et le dénominateur avec un même nombre, on ne change rien au résultat, sauf l'apparence visuelle des fractions.

On les appelle fractions équivalentes, et bien qu'elles soient écrites avec des valeurs différentes, elles représentent la même quantité 1/2, 2/4, 8/16...

Ce raisonnement conduit à la règle suivante "c1" :

 

13 - Simplification des fractions

c1 - Je divise les deux termes de cette fraction    par 2, ce qui donne :
* le numérateur 2 : 2 = 1
* le dénominateur 4 : 2 = 2
* et au final on obtient le résultat   .

On peut dans le même genre, sans jamais changer la valeur finale de l'opération, faire l'inverse.

c2 - Je multiplie les deux termes de cette fraction  par 2 ce qui donne :
* le numérateur 1 x 2 = 2
* le dénominateur 2 x 2 = 4
* et au final on obtient le résultat  

 

14 - Réduction à la plus simple expression. Dans l'exemple ci-dessus "c1" on a réduit la fraction de 2/4 à 1/2, et on voit bien qu'on ne peut pas la réduire davantage. Si on était parti d'une fraction par exemple 20/40^ème, on serait arrivé au même résultat de 1/2. On appelle cette opération : réduction à la plus simple expression.

On trouvera plus loin les opérations sur les fractions qu'on appelle, ppcm (plus petit commun multiple) et ppdc (plus petit dénominateur commun) et pgcd (plus grand commun diviseur).

Mais réduire à 1/2 n'est qu'un exemple, et il arrive que la réduction ne puisse pas descendre si bas. Cette réduction va être très utile et même indispensable pour effectuer d'autres manipulations sur les fractions. A voir pages suivantes.

 

15 - Fraction irréductible
Par opposition à la définition précédente "d", on appelle ainsi une fraction qui après réduction du numérateur et du dénominateur, ne peut plus être simplifiée : exemple   .

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